Hvis du vil læse artiklen, Klik her. Jeg beviser denne kendsgerning i artiklen sammen med to andre lige så interessante ligninger. Det er faktisk her, jeg snublede ind i ideen til netop denne artikel. Efter at have offentliggjort Ramanujan Summation fik jeg en kommentar om min brug af kommutativiteten af et uendeligt tælleligt sæt. Kommutativitet er ideen om, at hvis du har 1+2+3, Omarranger vilkårene ændrer ikke resultatet. Så 1+2+3=1+3+2, Du kan, men vilkårene i enhver rækkefølge, og svaret vil stadig altid være 6. Jeg bruger denne egenskab til at bevise ovenstående ligning i min anden artikel, men forceOfHabit bragte et interessant punkt op, holder dette for et uendeligt sæt tal?

“det er intuitivt indlysende, at der er dobbelt så mange positive heltal som endda positive heltal. Men hvis vi tager sekvensen af positive heltal og multiplicerer dem alle med 2, får vi sekvensen af lige positive heltal. Men at multiplicere hvert medlem af sekvensen med 2 ændrer ikke antallet af medlemmer. Så der er nøjagtigt det samme antal positive heltal som endda positive heltal. Så hvad er det? Dobbelt så mange eller det samme antal?”- forceOfHabit

og ærligt, jeg vidste ikke svaret på dette. Men det havde toppet min interesse, så jeg besluttede at undersøge det lidt mere. Jeg gik ned i et ormehul gennem forskellige grene af matematikken, lærte nogle interessante fakta undervejs og endte med kardinalitet. Kardinalitet beskæftiger sig med sæt og er, hvordan du vil beskrive antallet af elementer i et sæt. For eksempel har Sættet {1,2,3} 3 elementer eller en kardinalitet på 3.

Ved hjælp af kardinalitet kan vi begynde at få fat i spørgsmålene ovenfor. Jeg undersøgte lidt længere og fandt en interessant del af kardinalitet kaldet kardinal aritmetik, som er aritmetiske operationer, der kan udføres på kardinalnumre, der generaliserer de almindelige operationer for naturlige tal. For at sige det i lamens-termer er de et specielt sæt operationer, der fungerer specifikt til kardinalnumre, hver med deres egen definition. For eksempel, hvis du har to sæt A og B med kardinaliteter henholdsvis 3 og 4, betegner vi dette som |a| = 3 og |B| = 4. Derefter | – En| + |B / = / – En Kur B/. Det faktum, at det er defineret på denne måde, viser, hvordan der er aritmetiske operationer, der kan oprettes til specifikke sæt (forudsat at operationen opfylder visse kriterier).

Ved hjælp af kardinal aritmetik er det ikke kun bevist, at antallet af point i en reel talelinje er lig med antallet af point i et hvilket som helst segment af denne linje. Det lyder meget kontraintuitivt, men så igen, så er spørgsmålet ovenfor, hvorfor jeg kan lide at tro, at de ligner hinanden. Det er klart, at dette på ingen måde er et formelt eller endog et gyldigt bevis, men jeg vil hævde, at hvis du betragter dem i samme forstand, så er svaret på forceofhabits spørgsmål Mulighed B; det samme antal heltal.

men på den anden side kan jeg være helt forkert, og det er uendelig forvirring. Der er så meget, der ikke er kendt om det, fordi det bare er et koncept. Der er ingen måde at måle uendelighed på, fordi det per definition er umåleligt, og det i sig selv er et vanskeligt koncept at pakke dit hoved rundt. Jeg tror, at mit 1. års matematikprofessor opsummerede infinity ganske godt: “jeg hader infinity. Det er ikke et tal, men vi behandler det som et, men vi burde ikke. det er et koncept, ikke en matematisk værdi, så hvis nogen af jer bruger det som sådan, kan du lige så godt droppe kurset!”