sætteori

en vigtig brevveksling med Richard Dedekind, matematiker ved Brunvick tekniske institut, som var hans livslange ven og kollega, markerede begyndelsen på Cantors ideer om teorien om sæt. Begge var enige om, at et sæt, hvad enten det er endeligt eller uendeligt, er en samling af objekter (f. eks. heltalene, {0, ±1, ±2,…}) at dele en bestemt egenskab, mens hvert objekt bevarer sin egen individualitet. Men da Cantor anvendte enheden af en-til-en korrespondance (f. eks., {a, b, c} til {1, 2, 3}) for at studere sætets egenskaber så han hurtigt, at de adskiller sig i omfanget af deres medlemskab, selv blandt uendelige sæt. (Et sæt er uendeligt, hvis en af dens dele eller delmængder har så mange objekter som sig selv.) Hans metode gav snart overraskende resultater.i 1873 demonstrerede Cantor, at de rationelle tal, selvom de er uendelige, kan tælles (eller denumerable), fordi de kan placeres i en en-til-en korrespondance med de naturlige tal (dvs.heltalene, som 1, 2, 3,…). Han viste, at sættet (eller aggregatet) af reelle tal (sammensat af irrationelle og rationelle tal) var uendeligt og utallige. Endnu mere paradoksalt beviste han, at sættet med alle algebraiske tal indeholder lige så mange komponenter som sættet med alle heltal, og at transcendentale tal (dem, der ikke er algebraiske, som kr.), som er en delmængde af irrationelle, er utallige og er derfor mere talrige end heltal, som skal opfattes som uendelige.

men Cantors papir, hvor han først fremsatte disse resultater, blev nægtet offentliggørelse i Crelle ‘ s Journal af en af dens Dommere, Kronecker, der fremover heftigt modsatte sig hans arbejde. På Dedekind ‘s intervention blev den imidlertid offentliggjort i 1874 som” Priber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen “(“på en karakteristisk egenskab af alle reelle algebraiske tal”).mens han var på bryllupsrejse samme år med sin brud, Vally Guttman, i Interlaken, mødte Cantor Dedekind, der gav en sympatisk høring af sin nye teori. Cantors løn var lav, men hans fars ejendom, der døde i 1863, gjorde det muligt for ham at bygge et hus til sin kone og fem børn. Mange af hans papirer blev offentliggjort i Sverige i det nye tidsskrift Acta Mathematica, redigeret og grundlagt af G.Cantors teori blev et helt nyt forskningsemne vedrørende det uendelige matematik (f.eks. en endeløs serie, som 1, 2, 3,… og endnu mere komplicerede sæt), og hans teori var stærkt afhængig af enheden til en-til-en korrespondance. Ved at udvikle nye måder at stille spørgsmål om kontinuitet og uendelighed blev Cantor hurtigt kontroversiel. Da han argumenterede for, at uendelige tal havde en faktisk eksistens, trak han på gammel og middelalderlig filosofi om den “faktiske” og “potentielle” uendelige og også på den tidlige religiøse træning, som hans forældre gav ham. I sin bog om sæt, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (“grundlaget for en generel teori om aggregater”), cantor i 1883 allierede sin teori med Platonisk metafysik. I modsætning hertil afviste Kronecker, der mente, at kun heltalene “eksisterer” (“Gud skabte heltalene, og alt det andet er menneskets arbejde”), i mange år heftigt hans ræsonnement og blokerede hans udnævnelse til fakultetet ved Universitetet i Berlin.